偶然发现google可以直接画出函数图像来,精准度极高,于是想起来用这个功能来看一下Maclaurin展开是如何随精度增加而逼近展开式的。从某种角度上讲,这是一个极好的拟合过程,相对于梯度下降的逐步拟合来讲,泰勒公式或者麦克劳林展开直接推导出了每一个拟合因子。

泰勒级数的定义如下:

Taylor公式

Taylor公式

不过这是带拉格朗日余项的形式。让基准值=0可以得到 Maclaurin 展开式,当然这也就意味着Maclaurin展开式在0附近的拟合是最精确的。定义如下:

Maclaurin展开式

Maclaurin展开式

几个重要的Maclaurin展开如下:

几个重要的Maclaurin展开

几个重要的Maclaurin展开

这里我们验证一下sinx的逼近随着级数的增加而增加的情况。这也对应于拟合过程拟合维度的增加,相对于一元的拟合,二元或者多元就是会精确一些,但是会带来过拟合的风险。

首先是sinx的图像

一元函数拟合的时候,y=x

二元拟合的时候,y=x-x3/3!

三元拟合的时候,y=x-x3/3!+x5/5!

四元拟合的时候,y=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!

合并起来的图像大致如此:

再高阶的图像就不画了,上面基本保证了坐标系缩放比例是一致的(sinx的图像由于y轴比例没有跟其他的x轴保持一样的缩放比例),可以看到随着拟合维度的升高,拟合曲线越来越逼近sinx,这也直观体现了Maclaurin展开式的意义。

本文版权归CXH_ME所有,原创不易,人艰不抄,转载还请注明出处,谢谢